2.3.1等差数列的前n项和(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25【解析】S5＝＝＝＝15.【答案】B2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A．1B．－1C．2D.【解析】＝＝＝＝×＝1.【答案】A3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于()A．9B．10C．11D．12【解析】∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.d＝＝2，Sn＝na1＋·d＝n＋×2＝n2＝100，∴n＝10.【答案】B4．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.B.C．10D．12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.【答案】B5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15【解析】a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.【答案】A二、填空题6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.【解析】a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①1S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝.【答案】7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于______．【解析】由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.【答案】278．若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝________.【解析】Sn＝＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.由已知得＝，解得n＝19.【答案】19三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.【解】(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图232所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：图232(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？【解】(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．即第9圈共有81块石板．(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．即前9圈一共有405块石板．[能力提升]1．如图233所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)2个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于()图233A.B.C.D.【解析】由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.【答案】C2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．28【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，∴6a1＋(n＋12)d＝24.又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以＝5，n＝18.【答案】C3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.【解析】因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.【答案】104．Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．【解】(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋3＝.4
