3.3空间两点间的距离公式课后篇巩固探究1.在空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4),若|AB|=√3,则实数a的值是()A.3或5B.-3或-5C.3或-5D.-3或5解析由已知得√(1-2)2+(2-3)2+(a-4)2=√3,解得a=3或a=5.答案A2.不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A(1,0,4),B(3,-2,6),则该正方体的棱长等于()A.1B.√2C.2D.√3解析依题意,正方体的对角线的长为|AB|=√(1-3)2+(0+2)2+(4-6)2=2√3,设正方体的棱长为a,则有√3a=2√3,解得a=2.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为()A.9B.√29C.5D.2√6解析如图,由题设条件可知,|AA1|=3,|AB|=2,所以C1(0,2,3).所以|AC1|=√29.答案B4.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x)两点,则当|AB|取最小值时,x的值为()A.19B.-87C.87D.1914解析|AB|=√(x-1)2+(5-x-x-2)2+(2x-1-2+x)2=√14(x-87)2+57.故当x=87时,|AB|取得最小值.答案C15.△ABC的顶点坐标分别是A(3,1,1),B(-5,2,1),C(-83,2,3),则△ABC在yOz平面上的射影图形的面积是()A.4B.3C.2D.1解析△ABC的顶点A,B,C在yOz平面上的射影的坐标分别为A'(0,1,1),B'(0,2,1),C'(0,2,3),易得△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形,容易求出它的面积为1.答案D6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析由空间中两点间距离公式可得|AB|=√26,|BC|=√74,|AC|=√26.又A,B,C三点不共线,故可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.答案D7.已知点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则△ABC的边AB上的中线长等于.解析由已知得AB边的中点M(2,32,3),于是中线|CM|=√(2-0)2+(32-1)2+(3-0)2=√532.答案√5328.点M(4,-3,5)到x轴的距离为m,到平面xOy的距离为n,则m2+n=.解析由题意m=√(-3)2+52=√34,n=5,所以m2+n=34+5=39.答案399.已知x,y,z满足方程C:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值是.解析(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2表示以(3,4,-5)为球心,以√2为半径的球.而x2+y2+z2可看成该球面上的点到原点距离的平方,故其最小值为[√32+42+(-5)2−√2]2=32.答案3210.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|AA1|=2,|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,M是AB的中点,N是B1C的中点,求|MN|.解依题意得|AC|2=|BC|2+|AB|2,故AB⊥BC.以B为原点,BA,BC,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,2则有A(3,0,0),B(0,0,0),C(0,4,0),B1(0,0,2),所以M(32,0,0),N(0,2,1),由空间两点间的距离公式得|MN|=√(32)2+22+12=√292.11.导学号91134072已知堆放在一墙脚处的粮食表面是平面,以墙脚为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,若粮食平面α的中心为A(1,1,1),该粮食平面为正三角形,且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点.(1)求点P的坐标满足的条件;(2)求堆放的粮食的体积.解(1)如图,∵平面α过点A,且与直线OA垂直,∴可设平面α内任意一点P(x,y,z).连接AP,OP,则△OAP为直角三角形,∴|OA|2+|AP|2=|OP|2,即3+[(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2]=x2+y2+z2,化简得x+y+z=3,∴点P的坐标满足的条件是x+y+z=3.(2)设平面α与x轴、y轴、z轴的交点分别为M,N,Q,则M,N,Q的坐标也满足x+y+z=3,∴M(3,0,0),N(0,3,0),Q(0,0,3),显然O-MNQ是一个正三棱锥.∴由三棱锥的体积计算公式,得VO-MNQ=VQ-OMN=13×12|OM|·|ON|·|OQ|=92,即此处堆放的粮食的体积为92.34
