计时双基练四十七空间向量及其运算A组基础必做1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是()A．(－8，－6，－1)B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1)D．(－8，－6,1)解析点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)。答案A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1。其中与向量BD1相等的是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；③(AD－AB)－2DD1＝BD－2DD1≠BD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1＝B1D＋DD1＝B1D1≠BD1。综上，①②符合题意。答案A3．(2015·济南月考)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析因为OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1。所以P，A，B，C四点共面。答案B4．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析 a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或答案A5．(2015·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2解析AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2。故选C。答案C6．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析 M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)。∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0。∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形。答案C7．(2016·长春模拟)已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则OB2等于________。解析点A在xOz平面上的射影为B(3,0，－4)，则OB＝(3,0，－4)，OB2＝25。答案258．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________。解析c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·(2b)＝－2，得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，即2(1－x)＝－2，解得x＝2。答案29．已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，M在线段PC上，N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若MN＝xAB＋yAD＋zAP，则x＋y＋z＝________。解析如图，MN＝PN－PM＝PD－PC＝(AD－AP)－(PA＋AC)＝AD－AP＋AP－(AB＋AD)＝－AB－AD＋AP。所以x＋y＋z＝－－＋＝－。答案－10．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC。(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c。(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值。解(1) c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)。∴|c|＝＝3|m|＝3。∴m＝±1。∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)。(2) a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1。又 |a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－。11．(2016·重庆模拟)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点。(1)求证：CE⊥A′D。(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值。解设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0。(1)CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，所以CE·A′D＝－c2＋b2＝0。所以CE⊥A′D，即CE⊥A′D。(2)AC′＝－a＋c，CE＝b＋c，所以|AC′|＝|a|，|CE|＝|a|。AC′·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos〈AC′，CE〉＝＝。即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。B组培优演练1．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能解析由题意得，c垂直于由a，b确定的平面。 d＝λa＋μb，∴d与a，b共面。∴c⊥d。答案B2．(2016·武汉模拟)二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析 AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0， CD＝CA＋AB...
