课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y＝＋cosx的导数是(B)A．y′＝－sinxB．y′＝－－sinxC．y′＝＋cosxD．y′＝－cosx解析： 函数y＝＋cosx，∴y′＝′＋(cosx)′＝－－sinx.2．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(D)A．0B．1C．2D．3解析：对函数求导得y′＝a－，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y＝2x，所以a－1＝2，所以a＝3.3．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为(A)A．(1,0)B．(0，－1)C．(0,1)D．(－1,0)解析：设点P(a，b)，则b＝a4－a，由题得y′＝4x3－1.因为曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，所以4a3－1＝3，所以a＝1.所以b＝14－1＝0，所以点P的坐标为(1,0)．4．(2020·焦作模拟)已知f(x)＝xlnx＋，则f′(1)＝(B)A．1B．C．2D．e解析：f′(x)＝1＋lnx－，令x＝1，得f′(1)＝1－f′(1)，解得f′(1)＝.5．(2020·河北唐山模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则f(x)在x＝2处的切线斜率等于(B)A．6B．－2C．－6D．－8解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，则f′(2)＝－2.故选B.6．(2020·兰州诊断)若点P是函数y＝图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是(C)A．[0，]B．[，]C．[，)D．(，]解析：因为sinx＋cosx＝sin(x＋)，由x＋≠kπ，k∈Z，知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ－，k∈Z}．设直线l的倾斜角为θ，y′＝＝＝.因为00，即m>即可，故选B.二、填空题9．(2020·重庆七校联考)已知函数f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x－y－3＝0.解析：因为f(1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为f′(x)＝＋4x－4，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.所以切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.10．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝－8.解析： f(x)＝x＋＋b，∴f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－a＝2，∴a＝－1. f(1)＝1＋a＋b＝7，∴b＝7，则a－b＝－1－7＝－8.11．(2020·贵州适应考试)阅读材料：借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈(，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为4x－y－3＝0.解析：根据题中材料将函数y＝(2x－1)x＋1转化为lny＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)，两边同时求导数，得×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)××2＝ln(2x－1)＋，∴y′＝[ln(2x－1)＋]·(2x－1)x＋1，∴y′|x＝1＝[ln(2x－1)＋](2x－1)x＋1|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.12．(2020·南昌二模)已知f(x)＝4lnx－x2，若曲线y＝f(x)在点(1，－1)处的切线与曲线y＝x2－3x＋m相切，则m的值是.解析：因为f(x)＝4lnx－x2，所以f′(x)＝－2x，所以f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3.由得x2－5x＋m＋3＝0，因为直线与曲线相切，所以Δ＝25－4(m＋3)＝0，解得m＝.三、解答题13．已知函数f(x)＝x3－4x＋2及其图象上一点M(1，－1)．(1)若直线l1与函数f(x)的图象相切于点M(1，－1)，求直线l1的方程；(2)若函数f(x)的图象的切线l2经过点M(1，－1)，但M不是切点，求直线l2的方程．解：(1)f′(x)＝3x2－4，f′(1)＝－1，所以直线l1的斜率k1＝－1，所以直线l1的方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋y＝0.(2)设切点坐标为(x0，f(x0))，x0≠1，则切线l2的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因为直线l2经...
