高中数学 课时跟踪检测（十六）定积分的简单应用 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（十六）定积分的简单应用一、基本能力达标1．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是()A．4πB.C．3πD．2π解析：选D如图，求曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．故选D.2．如果用1N的力能将弹簧拉长1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J解析：选A设F(x)＝kx，当F＝1N时，x＝0.01m，则k＝100.W＝100xdx＝50x2＝0.18(J)．3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为()A．2B．C.D.解析：选AS＝－(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx＝－＋＝＋＝2.4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B．C.D.解析：选C阴影部分的面积为(－x)dx＝＝，故所求的概率P＝＝，故选C.5．如图是一个质点做直线运动的vt图像，则质点在前6s内的位移为________m.解析：直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－x＋9，故质点在前6s内的位移为xdx＋dx＝x2＋＝6＋3＝9(m)．答案：96．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，又因为函1数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝＝.答案：7．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y′＝－2x＋4得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.8．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．解：作出y＝x2－2x的图像，如图所示．①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1.②当a＝0时，不符合题意．③当a>0时，若00，∴a＝2.若a>2，不合题意，综上a＝－1或2.二、综合能力提升1.由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A．1B．C.D．2－2解析：选DS＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)－(cosx＋sinx)＝(－1)－(1－)＝2－2.2．椭圆＋＝1所围区域的面积为________．解析：由＋＝1，得y＝±.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S＝4dx＝3dx.由y＝，得x2＋y2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知dx表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积，∴dx＝×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.答案：12π3．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．2求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面积S＝S1＋S2＝dx＋(3－x)dx＝(3x－lnx)＋＝4－ln3.4．函数f(x)＝ax3＋bx2－3x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a≥－1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：当a＝0时，由f(x)在R上单调，知b＝0.当a≠0时，f(x)在R上单调⇔f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，∴∴a≤－b2且a≥－1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y＝－x2与直线y＝－1所围成的封闭图形．联立解得或如图，其面积S＝dx＝＝(3－1)－(－3＋1)＝4.3