2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.2椭圆方程及性质的应用课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为()A．有相等的长、短轴长B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的长、短轴解析：显然，两椭圆的焦点、长轴长、短轴长均不相同，但两方程中的c是一样的，故有相等的焦距．答案：B2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是()A.B.C.D.解析：焦点在y轴上，∴8sinα＞4，∴sinα＞，∵α是锐角，∴α∈.答案：C3．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝()A.B.C．1D.解析：由方程可知a＝5，b＝3，c＝4.＝＝＝.答案：A4．(2012·三明高二检测)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：∵∠F1PF2＝60°，∴在Rt△PF1F2中，|PF2|＝2|PF1|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝a，又＝＝tan60°＝，∴＝，即e＝.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________．解析：椭圆方程可化为：＋＝1，∵点(m，n)在椭圆上，∴－≤m≤，∴－2＋4≤2m＋4≤2＋4.答案：[－2＋4,2＋4]6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析：设椭圆的长半轴为a，由2a＝12知a＝6，又e＝＝，故c＝3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求中心在原点，一个焦点为(0,5)且被直线y＝3x－2截得的弦中点横坐标为的椭圆方程．解析：设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)，弦AB的中点M，设直线y＝3x－2与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，得a2(x－x)＋b2(y－y)＝0，两边同时除以x1－x2，得a2·(x1＋x2)＋b2(y1＋y2)·＝0，∴a2·2x0＋b2·2y0·k＝0，∴a2·2×＋b2·2××3＝0，∴a2＝3b2，又a2－b2＝50，∴＋＝1.8.1如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．解析：(1)由∠F1AB＝90°知b＝c，则e＝＝＝＝.(2)由已知条件a2－b2＝1，①设B(x，y)，A(0，b)，则AF2＝(1，－b)，F2B＝(x－1，y)，由AF2＝2F2B，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，解得a2＝3，②①－②得b2＝2.所求椭圆的标准方程为＋＝1.☆☆☆9．(10分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2＝2F2B，求椭圆C的方程．解析：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离2csin60°＝2，即c＝2，故c＝2.椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝(x－2)，联立消去x得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，解得y1＝，y2＝，因为AF2＝2F2B，所以－y1＝2y2，即＝2，解得a＝3，而a2－b2＝4，所以b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.2
