第2节空间点、直线、平面之间的位置关系[A级基础巩固]1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A3．(2019·邯郸调研)如图所示，在三棱锥S-ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：连接SG1并延长交AB与M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN(图略)．由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，所以在△SMN中，＝，所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因此可得G1G2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行．答案：B4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中有异面直线()A．12对B．24对C．36对D．48对解析：如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．1答案：B5．(2020·湛江调研)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，因为M是AD的中点，所以MO∥AN，所以∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角，设三棱锥A-BCD的所有棱长为2，则AN＝BM＝DN＝＝，则MO＝AN＝＝NO＝DN，则BO＝＝＝，在△BMO中，由余弦定理得cos∠BMO＝＝＝，所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为.答案：D6．(2019·珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为()A.B．2C.D．4解析：取A′D的中点N，连接PN，MN，2因为M是A′C的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD，因为四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，所以PB∥CD，且PB＝CD，所以MN∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝＝，所以异面直线BM与PA′所成角的正切值为.故选A.答案：A7．(2020·惠州质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z>0)，则下列结论中正确的是________(填序号)．①EF∥平面DPQ；②三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x，z的变化无关；③异面直线EQ和AD1所成角的大小与x，y，z的变化无关．解析：在①中，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，所以EF∥平面DPQ，故①正确．在②中，由点Q到EF的距离等于2，而EF＝1，故S△EFQ的值为定值，而随着点P在AD上运动，点P到平面EFQ的距离为变量，从而使得三棱锥P-EFQ的体积跟着变化，所以三棱锥P-EFQ的体积与x，y大小无关，与z大小有关，故②错误．在③中，由线面垂直的判定定理得AD1⊥平面A1DCB1，而直线EQ在平面A1DCB1内运动，不论EQ怎样运动，总有EQ与AD1互相垂直，即异面直线EQ和AD1所成角为90°，与x，y，z的变化无关，故③正确．答案：①③8.(2020·南京期末)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cosθ的值为________．3解析：因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，连接AD1，B1D1，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所...
