【课时训练】平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(2018安徽六校教育研究会二模)在平行四边形ABCD中，AB＝a，AC＝b，DE＝2EC，则BE＝()A．b－aB．b－aC．b－aD．b＋a【答案】C【解析】因为BC＝AC－AB，DE＝2EC，所以BE＝BC＋CE＝BC＋CD＝BC－AB＝AC－AB－AB＝AC－AB＝b－a.故选C.2．(2018浙江杭州模拟)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝【答案】A【解析】由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.故选A.3．(2018唐山一模)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－a＋bB．a－bC．a－bD．－a＋b【答案】B【解析】设c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－.∴c＝a－b.故选B.4．(2018河北邢台期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b＝()A．(4,0)B．(0,4)C．(4，－8)D．(－4,8)【答案】C【解析】因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，所以1×4＋2m＝0，即m＝－2.所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．5．(2018江西鹰潭一中期末)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B．C．2D．4【答案】A【解析】因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.故选A.6．(2018北京东城模拟)“x＝3”是“向量a＝(x＋1,1)与向量b＝(4，x－2)共线”的1()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a∥b⇒(x＋1)(x－2)－4＝0⇒x2－x－6＝0⇒x＝3或x＝－2，故选A.7．(2018山东临沂期末)若向量α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则向量a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)【答案】D【解析】∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，则a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn，则a＝(－x＋y，x＋2y)＝(2,4)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．故选D.8．(2018大连二模)已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则＋的最小值是()A．2B．3C．3＋2D．2＋3【答案】D【解析】a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则m－(1－n)＝0，即m＋n＝1.∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时取等号．故＋的最小值是3＋2，故选D.二、填空题9．(2018山西太原期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．【答案】【解析】因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.10．(2018河北沧州联考)在△ABC中，边AC＝1，AB＝2，角A＝，过点A作AP⊥BC于点P，且AP＝λAB＋μAC，则λμ＝________.【答案】【解析】∵AB·AC＝2×1×cos120°＝－1，又AP⊥BC，∴AP·BC＝0，即(λAB＋μAC)·(AC－AB)＝0.∴(λ－μ)AB·AC－λ|AB|2＋μ|AC|2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0.∴μ＝λ.①∵P，B，C三点共线，∴λ＋μ＝1.②将①②联立，解得则λμ＝×＝.11．(2018郑州月考)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.【答案】45°【解析】由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝，∴cos2θ＝.∴cosθ＝或cosθ＝－.又θ为锐角，∴θ＝45°.三、解答题12．(2018辽宁沈阳二中期末)已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．2【解】由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．3
