考点26平面向量的数量积与平面向量应用举例1、已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()A．12B．8C．－8D．2【答案】A【解析】 |a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.2、若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒|AB＋AC|2＝|AB－AC|2⇒AB·AC＝0，所以三角形为直角三角形．故选B.3、已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为()A．－2B．2C．4D．6【答案】B【解析】 a＝(－2，m)，b＝(1，)，∴a－b＝(－2，m)－(1，)＝(－3，m－)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－)·(1，)＝－3＋m－3＝m－6＝0，解得m＝2.故选B.4、设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则AM·AN的最大值为()A．32B．24C．20D．16【答案】B【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则AM·AN＝4x＋2y≤4×4＋2×4＝24，当且仅当AN＝AC时取等号，故选B.5、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2.6、已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且AB＋AC＝AD，则△ABC的面积的最大值为()A．3B．4C．3D．4【答案】B【解析】由题设AB＋AC＝AD，可知四边形ABDC是平行四边形．由圆内接四边形的性质可知∠BAC＝90°，且当AB＝AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax＝AB·AC＝×(2)2＝4.故选B.7、已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A.B．C．D．【答案】B【解析】a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.8、在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意得acos＝bcos，acos＝ccos，由正弦定理得sinAcos＝sinBcos⇒sin＝sin⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.9、已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1【答案】A【解析】因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.10、已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则点P的轨迹的曲线类型为()A．双曲线B．抛物线C．圆D．椭圆【答案】B【解析】MN＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|MN|＝6，MP＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，NP＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以|MN|·|MP|＋MN·NP＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.11、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.12、称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)【答案】C【解析】由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.13、若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)【答案】A【解析】由题意...
