第一章1.41.4.2第1课时周期函数A级基础巩固一、选择题1．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(B)[解析]由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B．2．函数y＝sin的最小正周期为(C)A．πB．2πC．4πD．3．函数f(x)＝7sin(＋)是(A)A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数D．周期为的偶函数4．函数y＝|cosx|的最小正周期是(C)A．B．C．πD．2π5．下列说法中正确的是(A)A．当x＝时，sin(x＋)≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期B．当x＝时，sin(x＋)＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期D．因为cos(－x)＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期6．若函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为，则ω的值为(A)A．3B．C．D．[解析]函数y＝2sinωx的最小值是－2，该函数的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由＝，得ω＝3．二、填空题7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝__－1__．[解析]由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．又f(1)＝1，则f(5)＝－1．三、解答题9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．[证明]∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx．(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥时x的取值范围．[解析](1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx．∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx．(2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．又∵f(x)的周期为π，∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z．B级素养提升一、选择题1．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(D)A．10B．11C．12D．13[解析]T＝＝≤2，∴k≥4π又k∈N*∴k最小为13，故选D．2．函数y＝的周期是(C)A．2πB．πC．D．[解析]T＝·＝．3．函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为(A)A．B．πC．2πD．4π[解析]∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为．4．函数f(x)＝4sin(x＋)是(A)A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数[解析]f(x)＝4sin(x＋)＝4sin(x＋π)＝－4cosx，∴T＝3π，且满足f(－x)＝f(x)，故选A．二、填空题5．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__．[解析]∵f(x)的周期为，且为偶函数，∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．6．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为±．[解析]∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin．由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝．∴sinα＝±＝±．三、解答题7．已知函数y＝sinx＋|sinx|．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析](1)y＝sinx＋|sinx|＝函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．8．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．[解析]x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx．又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．C级能力拔高定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则有下面三个式子：①f(sin)
