高中数学 第一章立体几何初步 1.4.2 等角定理与异面直线所成的角练习 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

第2课时等角定理与异面直线所成的角1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析:由于E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行,一组对应边方向相同,一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.答案:B2.若BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条体对角线,则这个正方体中面对角线与BD1异面的共有()A.7条B.6条C.4条D.3条解析:正方体的六个面中各有一条对角线符合题意.答案:B3.在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF和CD所成的角的度数为()A.90°B.45°C.60°D.30°解析:如图所示,作FG∥CD交BC于点G,则∠EFG(或其补角)为EF和CD所成的角.连接EG,则EG∥AB.∵EF⊥AB,∴EF⊥EG.又AB=2,CD=4,∴EG=1,FG=2.∴sin∠EFG=.∴∠EFG=30°.答案:D4.下列命题中,正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①错,符合条件的两角相等或互补;②符合等角定理;③错,可能不相等也不互补;④是公理4,故②④正确.答案:B5.导学号62180028如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④解析:将图还原为正方体如图所示.由图可知①BM与ED异面;②CN与BE平行;③CN与BM所成角为60°;④BN⊥DM.答案:C6.△ABC与△A'B'C'中有AB∥A'B',BC∥B'C',∠ABC=60°,则∠A'B'C'=.答案:60°或120°7.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是.解析:连接GB1,B1F,则GB1∥A1E,∴∠B1GF即为A1E与GF所成的角或其补角,B1G=,B1F=,GF=,∴B1G2+FG2=B1F2,∴∠B1GF=90°.答案:90°8.下列说法中正确的是.(填序号)①若两条直线无公共点,则两直线平行;②若两条直线不是异面直线,则必相交或平行;③过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意直线是异面直线;④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.解析:对于①,空间两直线无公共点,则可能平行,可能异面,所以①不正确.②正确,因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种:平行、相交和异面.对于③,过平面外一点B与平面内点A的连线肯定与平面内过点A的直线不异面;对于④,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AB与B1C1为异面直线,且BB1与BC1均与该两条异面直线相交,而B1B与BC1共面.答案:②9.如图所示,在正方体AC1中,求AA1与B1D所成角的余弦值.解:∵B1B∥A1A,∴∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角,连接BD.在Rt△B1BD中,设正方体的棱长为1,则B1D=.cos∠BB1D=.∴AA1与B1D所成的角的余弦值为.10.导学号62180029如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠D1EA1.证明:(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.∵A1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,∴EM=C1D1,且EM∥C1D1.∴四边形EMC1D1为平行四边形.∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.∴BF∥C1M,∴D1E∥BF.(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,∴∠B1BF=∠D1EA1.11.如图,已知三棱锥A-BCD中,AB=CD且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.解:如图所示,取BD的中点O,连接NO,MO.因为AB=CD,OM􀱀CD,ON􀱀AB,直线AB与CD所成的角为60°,所以OM=ON,∠MON=60°或120°.当∠MON=60°时,△MON是等边三角形,∠MNO=60°;当∠MON=120°时,△MON是等腰三角形,所以∠MNO=30°.因为AB∥ON,所以AB与MN所成的角为60°或30°.