专练55高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1.已知m>1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程．(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若坐标原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．3.[2020·全国卷Ⅰ]已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．4.[2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP＝3PB，求|AB|.5.[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．专练55高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1.解析：(1)因为直线l：x－my－＝0经过点F2(，0)，所以＝，解得m2＝2.又因为m>1，所以m＝，故直线l的方程为x－y－1＝0.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x，得2y2＋my＋－1＝0.由Δ＝m2－8＝－m2＋8>0，得m2<8.y1＋y2＝－，y1·y2＝－.由F1(－c,0)，F2(c,0)，可知G，H.因为坐标原点O在以线段GH为直径的圆内，所以OH·OG<0，即x1x2＋y1y2<0.因为x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)·，所以(m2＋1)<0.解得m2<4(符合m2<8)．又因为m>1，所以实数m的取值范围是(1,2)．2．解析：(1)由题意知解得b＝.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由消去y得(1＋2k)2x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.所以|MN|＝＝＝又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离为d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|d＝＝，解得k＝±1.3．解析：(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则AG＝(a,1)，GB＝(a，－1)．由AG·GB＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3
