1.6三角函数模型的简单应用【基础练习】1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的()A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D2．电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为()A．5AB．2.5AC．2AD．－5A【答案】B【解析】将t＝代入I＝5sin，得I＝2.5A．3．如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮中心为点O且O到水面的距离为5m，水轮上的点P到水面的距离为d(单位：m)(P在水面下则d为负数)，如果d(单位：m)与时间t(单位：s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k且当点P从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错误的是()A．A＝10B．ω＝C．φ＝D．k＝5【答案】C【解析】由图可知d的最大值为15，最小值为－5，即解得A＝10，k＝5.∵每分钟转4圈，∴函数的周期为15s，故ω＝.依题意，可知当t＝0时，d＝0，即10sinφ＝－5，可得φ＝－.故选C．4．(2018年河南一模)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7万元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月和11月达到最高价9万元，7月份价格最低为5万元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)【答案】A【解析】由题意，得A＝＝2，b＝7.周期＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.当x＝3时，y＝9，即2sin＋7＝9，∴sin＝1，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．5．心脏跳动时，血压在增加或减小，心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，已知某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳次数为________．【答案】80【解析】∵f(t)＝24sin160πt＋110，∴T＝＝，∴此人每分钟心跳次数为f＝＝80.6．(2018年陕西延安黄陵中学期末)某地一天的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.其中6时达到最低温度，14时达到最高温度，函数的部分曲线如图．(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．【解析】(1)由图象可知，最大温差为30－10＝20(℃)．(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.∵×＝14－6，∴ω＝.将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝.综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．7．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y(单位：m)关于t(单位：min)的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？【解析】(1)由题意，A＝50，b＝60，T＝3，故ω＝，故y＝50sin＋60.由50sinφ＋60＝10及φ∈[－π，π]，得φ＝－，故y＝50sin＋60.(2)在一个周期内求即可，令50sin＋60＞85，则sin＞，故＜t－＜，解得1＜t＜2.故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．【能力提升】8．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝.9．电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(单位：s)时的电流强度为()A．0AB．－5AC．10AD．－10A【答案】A【解析】由图知，A＝10，函数的周期T＝2＝，所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)，得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.10．如图，某大风车的半径为2m，每12s逆时针旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(单位：s)后与地面的距离为f(t)．(1)求函数f(t)的关系式；(2)经过多长时间点A离地面的距离为1.5m.【解析】(1)设f(t)＝Acosωt＋b，则A＝－2，b＝2.5.又T＝12，∴ω＝.∴f(t)＝2.5－2cost，t≥0.(2)令2.5－2cost＝1.5，可得cost＝0.5，∴t＝＋2kπ或＋2kπ(k∈N)，∴t＝2＋12k或10＋12k(k∈N)．
