高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第七节 数学归纳法教师用书 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第七节数学归纳法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。全国卷Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ无2015江苏，23,10分(数学归纳法)2014，安徽，21,13分(数学归纳法)2014，陕西，21,14分(数学归纳法)数学归纳法在近年的全国卷高考中还未出现过，只是在个别的自主命题的省份有所考查。由此可见数学归纳法不是高考的热点内容，我们做一般地认识就可以了，不必搞得过深过难。微知识小题练自|主|排|查数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。(2)框图表示：微点提醒1．数学归纳法证题时，不要误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3。2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：(1)必须利用归纳假设作基础。(2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法。(3)解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－2P96B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4【解析】三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。【答案】C2．(选修2－2P94例1改编)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2。当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2。故选D。【答案】D二、双基查验1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10【解析】左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8。故选B。【答案】B3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋【答案】D4．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝________。【解析】 Sn＋1＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋，Sn＝1＋＋＋＋…＋，∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋。【答案】＋＋＋…＋5．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________。【答案】345n＋1考点例析微考点大课堂对点微练考点一用数学归纳法证明等式【典例1】求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)。【证明】①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立。②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)。当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立。由①②得，等式对任何n∈N*都成立。反思归纳数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少。2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法。【变式训练】设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)。求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)。【证明】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立。(2)假设n＝k...