§2.2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥N②f(x0)＝N()下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.()设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解：f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．显然，f(x)在(0，1)上单调递增．故选A.()函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f在上是增函数，则a的取值范围是_______．解： f(x)＝x2－4x＋3＝2－1，∴f＝2－1，且当x∈时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.故填[2，＋∞)．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)()求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－；③y＝log(x2－4x＋3)．解：①依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x2－3x＋2≥0，得x≥2或x≤1，设u＝x2－3x＋2，则y＝1－，当x∈(－∞，1]时，u为减函数，当x∈[2，＋∞)时，u为增函数，而u≥0时，y＝1－为减函数．∴y＝1－的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③令u＝x2－4x＋3>0，得x<1或x>3.∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．(2)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．解法一：设0
0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，]上是减函数；当＜x1a，又x1－x2<0，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．解法二：求导可得f′(x)＝1－.令f′(x)＞0，则1－＞0，解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)≤0，则1－≤0，解得－≤x≤. x＞0，∴0＜x≤.∴f(x)在(0，]上是减函数；在(，＋∞)...
