考点45变量间的相关关系、统计案例一、选择题1.(2017·全国丙卷·理科·T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【命题意图】本题考查学生观察折线图和分析数据变化的能力.【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.2.(2017·山东高考理科·T5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知=225,=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170【命题意图】本题考查线性回归方程的求解与应用,意在考查考生运算求解能力.【解析】选C.=22.5,=160,=160-4×22.5=70,则回归直线方程为=4x+70,所以该学生的身高为4×24+70=166.二、简答题1.(2017·全国甲卷文·T19)(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示:(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率.(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较.附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=.【命题意图】考查频率分布直方图、事件的概率、独立性检验思想,意在考查学生的图形的处理和数据的运用能力以及运算能力.【解析】(1)“旧养殖法的箱产量低于50kg”的频率为:(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量频率分布直方图得到列联表:箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖3466法K2的观测值k=≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由频率分布直方图可得:旧养殖法100个网箱产量的平均数=(27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.020+62.5×0.012+67.5×0.012)×5=47.1.新养殖法100个网箱产量的平均数=(37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008)×5=52.35;比较可得<,故新养殖法优于旧养殖法.2.(2017·全国乙卷文科·T19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次910111213141516序零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s=≈0.212,≈18.439,(xi-)(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=,≈0.09.【命题意图】本题主要考查相关系数的求法及标准差、均值的计算.【解析】(1)因为1,2,3,…,16的平均数为8.5,所以样本(xi,i)(i=1,2,…,n)的相关系数r==≈-0.178,|r|=0.178<0.25,所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①-3s=9.97-3×0.212=9.334,+3s=9.97+3×0.212=10.606,第13个零件的尺寸为9.22,9.22<9.334,所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查.②剔除9.22,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为=10.02,标准差为s==≈0.09.【反思总结】解答新颖的数学题时,一是通过转化,化“新”为“旧”;二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”;三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点.
