课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·诸暨高一检测)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m【解析】选A.由题意知，在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB===50(m).2.(2019·苏州高一检测)某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地距离为()A.4kmB.6kmC.7kmD.9km【解析】选C.如图所示，由题意可知AB=3，BC=2，∠ABC=150°，由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos150°=49，所以AC=7，所以A，C两地距离为7km.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化简得：4t2-8t+7=0，所以t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|==1.4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD==.在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3++2×××=5+2.所以AB=≈2.9(km).答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.二、填空题(每小题4分，共8分)5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB=75°，∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.由正弦定理知，==，所以OA=米，AB=米，所以OA+AB=米.答案：(5+5)6.(2019·宁德高二检测)一艘船以每小时20km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶2h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_______km.【解析】由题意知，△ABC中，AC=20×2=40，∠BAC=30°，∠B=180°-30°-(90°+15°)=45°，由正弦定理得，BC===20(km)，所以船与灯塔的距离为20km.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8nmile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意，画出示意图，如图所示.(1)在△ABD中，由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，则B=45°.由正弦定理，得AD==24(nmile).答：A处与D处之间距离为24nmile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2，所以CD=8(nmile).答：灯塔C与D处之间的距离为8nmile.【加练·固】如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB=6m，∠ABD=60°，∠DBC=90°，∠DAB=75°.试求C，D间的距离.【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°，所以∠C=180°-150°=30°，∠ADB=180°-75°-60°=45°.△ABD中，由正弦定理得AD==3.由余弦定理得BD==3+3.在Rt△BDC中，CD==6+6，即CD的长为(6+6)m.8.(14分)(2019·眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.【解析】在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，由正弦定理得BP===20，在△...
