圆锥曲线之一直线过定点如图，已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，圆，直线与圆和抛物线自左至右顺次交于四点、、、，（1）若线段、、的长按此顺序构成一个等差数列，求正数的值；（2）若直线过抛物线焦点且垂直于直线，直线与抛物线交于点、，设、的中点分别为、，求证：直线过定点．ABCDxyOPQMN【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可得，所以，圆的半径为1，设，，由得，，，，．（2），，，当时，直线与抛物线没有交点，所以，用替换可得，，一、（2018湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考试题）所以的直线方程为，化简得，所以直线过定点．已知、为椭圆的左、右顶点，，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若点为直线上任意一点，，交椭圆于，两点，试问直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）依题意，则，又，．椭圆方程为：．（2）设，（不妨设），，，则直线方程：，直线方程：．设，，由得，则，则，于是．由，得，则，则，于是，，，二、(2018湖北省武汉市高三毕业生2月份调研考试)．直线方程为：．令得，故直线过点．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．【答案】（1）；（2）定直线．【解析】（1），，由题目已知条件知，，，所以；（2）证明：设，，三、(2018山西省太原市高三3月模拟考试)得，所以，，①，②，联立①②可得，，解得，点在定直线上．
