【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换7平面直角坐标系中的平移变换学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】因椭圆方程可化为＋＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为，准线方程为x＝－3±.3．圆x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求过点(3,4)的圆x2＋y2＝25的切线按向量a平移后的方程．【导学号：98990020】【解】由题意可知a＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x2＋y2＝25的切线方程为3x＋4y＝25，所以平移后的切线方程为3(x－1)＋4(y＋2)＝25，即3x＋4y－20＝0.4．已知两个点P(1,2)、P′(2,10)和向量a＝(－3,12)．回答下列问题：(1)把点P按向量a平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a平移得到对应点P′，求这个点的坐标；(3)点P按某一向量平移，得到的对应点是P′，求这个向量的坐标．【解】(1)平移公式为由x＝1，y＝2，解得x′＝－2，y′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为由x′＝2，y′＝10，解得x＝5，y＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为由x＝1，y＝2，x′＝2，y′＝10，解得h＝1，k＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y＝x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y＝2x－5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a的坐标．【解】设a＝(h，k)，所以y＝x2平移后的解析式为y－k＝(x－h)2，即y＝x2－2hx＋h2＋k与直线y＝2x－5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y＝x2－2hx＋h2＋k在(3,1)处切线的斜率为6－2h，从而6－2h＝2，h＝2.又点(3,1)在y－k＝(x－h)2上，解得k＝0，所以向量a的坐标为(2,0)．16．抛物线y＝x2－4x＋7按向量a平移后，得到抛物线的方程是y＝x2.求向量a及平移前抛物线的焦点坐标．【解】抛物线方程可化为y－3＝(x－2)2，平移后的抛物线方程为y＝x2，所以a＝(－2，－3)，因为y＝x2的焦点坐标为(0，)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，＋3)，即(2，)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x＋3y＋9＝0与4x－3y＋15＝0，一条准线的方程为y＝－，求此双曲线的方程．【解】两渐近线的交点即双曲线中心，故由解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y＝－，说明焦点所在的对称轴平行于y轴，所以可设双曲线方程为－＝1，它的渐近线方程可写成±＝0①，准线方程为y－1＝±②，而已知渐近线方程为4x＋3y＋9＝0，即4(x＋3)＋3(y－1)＝0，另一条渐近线方程为4x－3y＋15＝0，即4(x＋3)－3(y－1)＝0，合并即为±＝0.对照①，得＝③.而已知准线方程y＝－，即y－1＝－.对照②，得＝④.由③④，解得a＝4，b＝3，c＝5.故所求双曲线方程为－＝1.能力提升]8．已知抛物线y＝x2－4x－8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程；(2)将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是y＝x2?【解】(1)将抛物线y＝x2－4x－8配方，得y＝(x－2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P(2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a＝(1,10)，于是平移公式为即因为点(x，y)在抛物线y＝x2－4x－8上，所以y′－10＝(x′－1)2－4(x′－1)－8，即y′＝x′2－6x′＋7.所以平移后的方程为y＝x2－6x＋7.(2)法一设平移向量a＝(h，k)，则平移公式为将其代入y＝x2－4x－8，得y′－k＝(x′－h)2－4(x′－h)－8，化简整理，得y′＝x′2－(2h＋4)x′＋h2＋4h＋k－8.令解得此时y′＝x′2.所以当图象按向量a＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y＝x2.法二将抛物线y＝x2－4x－8，即y＋12＝(x－2)2平移到y＝x2.只需要作变换所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．2
