高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于()A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－b解析：选A．BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋a＝b－a.2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.3.已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A．如图所示，建立平面直角坐标系，则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B．C．2D．4解析：选A．因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，4)B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C．平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．6．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．解析：由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．答案：－27．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－8．(2017·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μAN，则实数λ＋μ＝________．解析：如图，因为AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝DC＋BC，①AN＝AD＋DN＝BC＋DC，②由①②得BC＝AN－AM，DC＝AM－AN，所以AC＝AB＋BC＝DC＋BC＝AM－AN＋AN－AM＝AM＋AN，因为AC＝λAM＋μAN，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.答案：9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c，所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b，所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN＝(9，－18)．10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD＝xOA＋yBC，求x＋y的值．解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C所以CD＝，BC＝.又CD＝xOA＋yBC，所以＝x(－1，0)＋y.所以，解之得，所以x＋y＝－＝－.1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋y...