3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.答案:C2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:⃗OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()A.向量⃗AB与点B的坐标相同B.向量⃗AB与点A的坐标相同C.向量⃗AB与向量⃗OB的坐标相同D.向量⃗AB与向量⃗OB−⃗OA的坐标相同答案:D4点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由点A在x轴投影知y=0,z=0,由点A在xOy平面投影知z=0.故选B.1答案:B5设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为,.答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6已知{a,b,c}是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).①2a②-b③c④a+c答案:③④7如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设⃗OA=¿a,⃗OB=¿b,⃗OC=¿c,则向量⃗OD用a,b,c表示为.答案:12a−12b+¿c8如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求⃗BD1的坐标.解:⃗BD1=⃗BD+⃗DD1=⃗BA+⃗BC+⃗DD1=−⃗AB+⃗AD+⃗DD1.以⃗AB,⃗AD,⃗AA1为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则⃗BD1=−⃗AB+⃗AD+⃗DD1=−⃗AB+⃗AD+⃗AA1=(−1,1,1).29已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设⃗DA=¿e1,⃗AB=¿e2,⃗AP=¿e3,以{e1,e2,e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量⃗MN,⃗DC的坐标.解:由题意得⃗DC=⃗AB=¿e2. ⃗PC=⃗AC−⃗AP=⃗AB+⃗AD−⃗AP=¿e2-e1-e3,∴⃗MN=⃗MA+⃗AP+⃗PN=−12⃗AB+⃗AP+12⃗PC=−12e2+¿e3+12¿e2-e1-e3)=−12e1+12e3.∴⃗MN=(-12,0,12),⃗DC=(0,1,0).能力提升1设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底.当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.答案:B2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以{⃗DA,⃗DC,⃗DD1}为单位正交基底,则⃗MN的坐标为()3A.(12,0,12)B.(12,12,0)C.(0,12,12)D.(12,12,12)解析:⃗MN=⃗DN−⃗DM=⃗DD1+⃗D1N−⃗DD1−⃗D1M=⃗D1N−⃗D1M=12⃗D1B1−12⃗D1A=12(⃗D1A1+⃗D1C1)−12(⃗D1A1+⃗D1D)=12⃗DA+12⃗DC−12⃗DA+12⃗DD1=12⃗DC+12⃗DD1,故⃗MN=(0,12,12).答案:C3如图,在空间四边形OABC中,⃗OA=¿a,⃗OB=¿b,⃗OC=¿c,点M在OA上,且⃗OM=2⃗MA,N是BC的中点,⃗MN=xa+yb+zc,则x,y,z的值为()A.12,−23,12B.−23,12,12C.12,12,−23D.23,23,−12答案:B4若向量⃗MA,⃗MB,⃗MC的起点与终点M,A,B,C互不重合且无三点共线,且满足下列关系(O是空间任一点),则能使向量⃗MA,⃗MB,⃗MC成为空间一个基底的关系是()A.⃗OM=13⃗OA+13⃗OB+13⃗OCB.⃗MA≠⃗MB+⃗MCC.⃗OM=⃗OA+⃗OB+⃗OC4D.⃗MA=2⃗MB−⃗MC解析:若⃗MA,⃗MB,⃗MC为空间一组基底向量,则M,A,B,C四点不共面.A中M,A,B,C共面;B中⃗MA≠⃗MB+⃗MC,但可能⃗MA=λ⃗MB+μ⃗MC,M,A,B,C可能共面;D中四点显然共面.答案:C5如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{⃗AB,⃗AD,⃗AA1}下的坐标为(2,1,−3).若分别以⃗DA,⃗DC,⃗DD1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则向量a的空间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析:a=2⃗AB+⃗AD−3⃗AA1=2⃗DC−⃗DA−3⃗DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9).答案:D6设{i,j,k}是空间向量的单位正交...
