高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51 双曲线 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(五十一)双曲线[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx2＋2y2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为()A．2B.C．2D.[解析]双曲线方程为y2－＝1，∴－＝4，∴m＝－，双曲线的焦距为2，故选A.[答案]A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(，＋∞)B．(，2)C．(1，)D．(1,2)[解析]依题意得，双曲线的离心率e＝，因为a>1，所以e∈(1，)，选C.[答案]C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.B.C.D.[解析]解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴；又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF||AP|＝×3×1＝.故选D.[答案]D4．(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1[解析]由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.[答案]D5．(2018·广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48[解析]依题意，得F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10. 3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝x.由双曲线的性质知x－x＝2，解得x＝6.∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝×8×6＝24.故选C.[答案]C6．(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()1A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[解析]根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有⇒则xy＝·＝⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为－＝1，故选D.[答案]D二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析]设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25，当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，∴λ＝20；当λ<0时，－＝1，－λ＋＝25，∴λ＝－20.故该双曲线的方程为－＝1或－＝1.[答案]－＝1或－＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点和点P(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于__________．[解析]设双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意，kPF1·kPF2＝·＝－1，∴c2＝3，b2＝1，∴b＝1.[答案]19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．[解析]双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝.[答案]三、解答题10．如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．[解](1) ∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°.在Rt△PF2F1中，|PF1|＝＝＝，|PF2|＝|PF1|＝，又|PF1|－|PF2|＝2a，即c＝2a，＝，∴e＝＝.(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝.2∴＝＝＝＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|＝|CF2|，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.[解析] 过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、...