第4课时数列的综合应用考纲索引1.等差数列与等比数列的综合应用.2.数列的实际应用.3.数列与其他知识的综合应用.课标要求1.以递推关系为背景,在等差、等比数列交汇的题目中,进行数列的基本运算,求数列的通项公式与前n项和.2.在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处,考查数列的综合应用.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理1.等差数列与等比数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与的差;(2)a1与d可以为零;(3)等差中项唯一.(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系;(2)结果都必须是同一个常数;(3)数列都可由a1,d或a1,q确定.等比数列(1)强调从第二项起每一项与的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项有两个值.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.3.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系,还是Sn与Sn+1之间的递推关系.1基础自测1.(教材改编)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2的值为().A.-4B.-6C.-8D.-102.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,且a6=b7,则有().A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定3.(教材改编)有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖),问细菌将病毒全部杀死至少需要().A.6秒钟B.7秒钟C.8秒钟D.9秒钟指点迷津◆两个区分在数列的实际应用中注意区分:①是等差数列还是等比数列问题.②是求数列的通项an,还是求Sn或者求n.◆三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).(2)数列与不等式结合时需注意放缩.(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.考点透析考向一等差数列与等比数列的综合应用例1(2013·石家庄市质检二)已知数列{an}为公差不为零的等差数列,a1=1,各项均为正数的等比数列{bn}的第1项、第3项、第5项分别是a1,a3,a21.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.2【审题视点】由等比中项建立d的关系,利用错位相减法求Sn.【方法总结】对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.变式训练1.(2013·山西模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.考向二数列的实际应用例2(2013·长沙重点中学联考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.【审题视点】把电力车混合型车分别看作等比数列和等差数列来求解.【方法总结】解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差、等比数列知识求解.这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力.3变式训练2.(2013·武汉调研)为了缓解城市道路拥堵的局面,某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准,并实行累进加价收费.已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的:“(中...
