高中数学 课时跟踪检测（十二）实际问题中导数的意义 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（一）归纳与类比一、基本能力达标1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/s解析：选Cs′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2h这一时刻的高度变化的速度是()A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h解析：选C h′＝－200t＋800，∴当t＝2h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是()A．6B．9C．9πD．6π解析：选D S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移解析：选C由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是__________________________________．答案：4边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度6．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是________m/s2.解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：147．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋(元)．(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．解：(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．此时总成本c关于产量x的平均变化率为＝＝4.3(元/件)，它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．(2)c′(x)＝＋，于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．8．江轮逆水上行300km，水速为6km/h，船相对于水的速度为xkm/h，已知船航行时每小1时的耗油量为0.01x2L，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；(2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．解：(1)船的实际速度为(x－6)km/h，故全程用时h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝＝(x>6)．(2)f′(x)＝3·＝，f′(36)＝＝2.88，f′(36)表示当船相对于水的速度为36km/h时耗油量增加的速度为2.88，也就是说当船相对于水的速度为36km/h时，船的航行速度每增加1km/h，耗油量就要增加2.88L.二、综合能力提升1.如下图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图像大致是()解析：选D由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快，选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快也与实际不符；选项C表示开始时段与最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速较慢，符合实际．2．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少元/年(精确到0.01)．解： p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在10时的函数值． p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)，∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．3．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2000＋450q＋0.02q2.(1)写出收入函数；(2)写出利润函数；(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．解：设收入函数为R(q)，利润...