平面向量、三角函数与解三角形(1)1．[2019·河北保定摸底]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，x∈R)在一个周期内的部分对应值如下表：x－－0f(x)－2020－2(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)－2sinx的最大值及其对应的x的值．解析：(1)由表格可知，A＝2，f(x)的周期T＝－＝π，所以ω＝＝2.又2sin(2×0＋φ)＝2，得sinφ＝1，因为－π<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin＝2cos2x.(2)g(x)＝f(x)－2sinx＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－22＋.又sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝－时，g(x)取得最大值，此时x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．2．[2018·北京卷]已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．解析：(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝－cos2x＋sin2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.要使得f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1.所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.3．[2019·济南市学习质量评估]我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52m．若该小区内某居民在距离楼底27m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，求该小区的住宅楼实际楼间距？解析：设两住宅楼实际楼间距为xm．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区的住宅楼实际楼间距为54m.4．[2019·长沙，南昌联合模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.解析：(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝2.5．[2019·湖北八校第一次联考]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋(x∈R)，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为，且a＝，求b＋c的值．解析：(1)依题意得f(x)＝sin2x－cos2x＋＝sin2x－＋＝sin2x－cos2x＝sin.因为A∈(0，π)，所以2A－∈，所以由f(A)＝sin＝1，得2A－＝，所以A＝.(2)因为S△ABC＝bcsin＝，所以bc＝4.①又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝13，化简得(b＋c)2－3bc＝13.②将①式代入②式，得b＋c＝5.6．[2019·河北衡水中学三调]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝a，试判断△ABC的形状．解析：(1)∵|m＋n|＝，∴m2＋n2＋2m·n＝3，又m＝，n＝，∴1＋1＋2＝3，∴coscos＋sinsin＝，即cos＝，∴cosA＝，∵0°
