第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式【最新考纲】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝.2．六组诱导公式1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角．()(2)cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.()(3)若α≠(k∈Z)，则tan＝－.()(4)若sinα＋cosα＝1，那么有sinnα＋cosnα＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2015·福建卷)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.B．－C.D．－解析：因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.答案：D3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝()A.B．－C.D．－解析：tan(α－π)＝⇒tanα＝＞0.又因为α∈，所以α∈.所以sin＝cosα＝－.答案：B4．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为()A．－B.C．±D.解析：sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，又因为α∈，则cosα＝＝，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝.答案：B5．已知tanθ＝2，则sinθcosθ＝________．解析：sinθcosθ＝＝＝＝.答案：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1．利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法1．弦切互化法：主要利用公式tanα＝进行弦、切互化．2．和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．3．巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝tan等．一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝()A．－B.C．±D．－k解析：由cosα＝k，α∈得sinα＝，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－.答案：A2．(2016·梅州质检)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：因为tan(π－α)＋3＝0，所以tanα＝3，sinα＝3cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.又α为锐角，故sinα＝.答案：B3．已知tanα＝－，则sin2α＝()A.B．－C．－D.解析：sin2α＝＝＝＝－.答案：B4．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα等于()A．－B.C．－D.解析：因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sinα＝.答案：D5．已知sin(π－α)＝log4，且α∈，则tan(2π－α)的值为()A．－B.C．±D.解析：sin(π－α)＝sinα＝log4＝－，又α∈，得cosα＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝.答案：B6．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ的值是()A.B.C.D.解析：由θ∈，知sinθ＋cosθ＞0，sinθ－cosθ＞0.又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ＋cosθ＝，且sinθ－cosθ＝，从而sinθ＝.答案：C二、填空题7．若sinθcosθ＝，则tanθ＋的值是________．解析：tanθ＋＝＋＝＝2.答案：28．直线2x－y＋1＝0的倾斜角为θ，则的值为________．解析：由题意可知，tanθ＝2，则＝＝＝.答案：三、解答题10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.解：由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.11．已知α为钝角，sin＝，求sin的值．解：cos＝sin＝⇒cos＝.因为α为钝角，即＜α＜π⇒－＜－α＜－，所以sin＜0，则sin＝－＝－.
