专题27数系的扩充与复数的引入1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i解析：由(3－4i)z＝25⇒z＝＝＝3＋4i，选D。答案：D2.＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i解析：＝＝－1＋2i，故选B。答案：B3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.D.4．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i解析：方法一：由题知(z－2i)(2－i)＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以[a＋(b－2)i](2－i)＝5，利用复数相等即实部与实部、虚部与虚部分别相等，得到解得所以z＝2＋3i，故选A。答案：A5．i为虚数单位，2＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：2＝＝－1，选B。答案：B6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i解析：由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i。答案：A7．复数(i为虚数单位)的实部等于__________。解析：直接运算得，＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3。答案：－38．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝__________。解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2。答案：29．已知i是虚数单位，计算＝__________。解析：＝＝＝。答案：10．要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，其中的实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解析：假设z为纯虚数，则有由①得a＝－2或a＝3。当a＝－2时，②式左端无意义。当a＝3时，②式不成立。故不存在实数a，使z为纯虚数。11．复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值。12．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围。解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi。代入4z＋2＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i。∴∴z＝＋i。|z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|＝＝。∵－1≤sin(θ－)≤1，∴0≤2－2sin(θ－)≤4。∴0≤|z－ω|≤2。
