第9节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)[微点提醒]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax01)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.()解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元.∴每件赔1元，(1)错.(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A.y＝2xB.y＝x2－1C.y＝2x－2D.y＝log2x解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.答案D3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析设经过n年资金开始超过200万元，即130(1＋12%)n>200.两边取对数，得n·lg1.12>lg2－lg1.3，∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案B4.(2018·昆明诊断)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值.答案B5.(2018·黄冈检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).答案B6.(2019·北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.解析依题意解得∴y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.答案1024考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月...
