高中数学 第二章 概率 3 条件概率与独立事件知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

§3条件概率与独立事件自主整理1.已知__________________的条件下A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)，当P(B)>0时，我们有P(A|B)=_________________(其中，A∩B也可以记成AB).类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率P(B|A)=_________________.2.一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)=_________________，则称A，B相互独立.可以证明，如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)=_________________.高手笔记1.P(B|A)是指在事件A发生的前提下事件B发生的概率；P(B)是指事件B发生的概率.例如：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取.①用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则P(B)=.②若已经知道第1名同学没有抽到奖券(设该事件为A)，则这时最后一名同学抽到中奖奖券的概率P(B|A)=.故P(B|A)≥P(B)，特别地，当P(B|A)=P(B)时，可以断定A、B两个事件一定相互独立.2.P(AB)表示在基本事件空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的基本事件空间Ωa中，计算B发生的概率，用古典概型公式则有：P(B|A)=P(AB)= Ωa中基本事件数≤Ω中基本事件数，故有P(B|A)≥P(AB).3.条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).名师解惑1.条件概率的求解策略是什么？剖析：求条件概率一般有两种方法，一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)=，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数.二是直接根据定义计算，P(B|A)=，特别要注意P(AB)的求法.2.常见事件的关键词与概率间的关系.剖析：关键词表事件符号概率A、B互斥A、B相互独立1述A、B中至少有一个发生A∪BP(A∪B)P(A)+P(B)1-P()·P()A、B同时都发生A∩BP(A∩B)0P(A)·P(B)A、B都不发生∩P(∩)1-［P()+P()］P()·P()A、B中恰有一个发生A∪BP(A∪B)P(A)+P(B)P(A)·P()+P()·P(B)A、B至多有一个发生A∪A∪P(A∪B∪)11-P(A)·P(B)3.相互独立事件与互斥事件的区别与联系剖析：(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响.(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的对立是对一个试验中的两个事件而言.(3)独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.2(4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以判断，如一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的.讲练互动【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.分析：(1)(2)属于古典概型，(3)利用条件概率公式P(B|A)=求解.解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)==20.根据分步乘法计数原理，n(A)=×A=12，于是P(A)=.(2)因为n(AB)=A=6，所以P(AB)=(3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)=.方法2：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以P(B|A)=.绿色通道:利用条件概率公式求解时，求事件AB的概率(或其基本事件个数)是解决问题的关键.变式训练1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出的点数之和大于等于10”的概率是多少？解：设“第一颗骰子掷出6点”为事件A，“掷出的点数之和大于等于10”为事件B.则P(B|A)=.【例2】一只盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是二等品”，试求条件概率P(B|A).分析：3本题属古典概...