第18讲平面向量、复数(对应学生用书第112页)一、选择题1．(2017·湘中名校联考)若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝()【导学号：07804122】A．iB．－iC．2iD．－2iA[由题意，得m(m－1)＝0且(m－1)≠0，得m＝0，所以z＝－i，＝＝i，故选A.]2．(2017·石家庄一摸)若复数z满足(＋i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.＋iB．－iC．1＋iD．1－iD[依题意得z＝＝＝1＋i，则复数z的共轭复数为1－i，选D.]3．(2015·全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－ACA[ BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.]4.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B．C.D．2B[ (1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又 x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]5.(2016·全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)A[由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]6．(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2B[ (2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴解得a＝0.故选B.]7．(2017·豫南九校4月联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于()A．－B．1C．2D．B[ a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴＝＝1，故选B.]8．(2017·福建漳州八校联考)在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，|AB|＝|AC|＝3，则CB·CA的值为()【导学号：07804123】A．3B．－3C．－D．D[由|AB＋AC|＝|AB－AC|两边平方可得，AB2＋AC2＋2AB·AC＝3(AB2＋AC2－2AB·AC)，即AB2＋AC2＝4AB·AC，又|AB|＝|AC|＝3，所以AB·AC＝，又因为CB＝AB－AC，所以CB·CA＝(AB－AC)·(－AC)＝AC2－AB·AC＝9－＝，故选D.]9.(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4B[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]10．(2016·山西太原五中4月模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果OD＋DE＋DF＝0，且|OD|＝|DF|，则向量EF在FD方向上的投影为()A．6B．－6C．2D．－2B[由OD＋DE＋DF＝0得，DO＝DE＋DF.∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF， |OF|＝|OD|＝|DF|＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4.∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|·cos〈EF，FD〉＝4cos150°＝－6，故选B.]11.(2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1B[法一：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．图①设P点的坐标为(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.当且仅当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－.故选B.法二：(几何法)如图②所示，PB＋PC＝2PD(D为BC的中点)，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD.图②要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA·PD)min＝－2|PA||PD|，问题转化为求|PA||PD|的最大值．又|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×＝，∴|PA||P...
