第2课时平面向量的数量积及应用举例考纲索引1.两个向量夹角的表示.2.两个向量的数量积的定义.3.向量数量积的几何意义.课标要求1.理解平面向量数量积的含义及物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标关系式,会进行平面向量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1.两个向量的夹角2.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.3.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积.4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a=a·e=;(2)a⊥b⇔;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=,特别的,a·a=|a|2或者|a|=;(4)cosθ=;(5)|a·b|≤|a||b|.5.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.6.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则基础自测指点迷津◆三个因素a·b是一个确定的实数,与|a||b|,cos
有关.◆五个区别(1)若a,b为实数,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0.(2)若a,b,c∈R则a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0,却不能推出b=c.(3)若a,b,c∈R则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.(4)若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.(5)向量的夹角与三角形内角区别比如正三角形ABC中,应为120°,而不是60°.考点透析考向一平面向量的数量积的运算【方法总结】(1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.变式训练考向二利用向量的数量积求夹角和模【审题视点】利用|2a+b|=|a+(a+b)|通过计算可得a与a+b的夹角.【方法总结】在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对要引起足够重视,是求距离常用的公式.变式训练考向三数量积的综合应用【方法总结】(1)若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化,可用来解决几何中的线线垂直问题.变式训练经典考题典例(2014·安徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为().真题体验1.(2014·全国大纲)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b等于().A.-1B.0C.1D.22.(2014·浙江)设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.().A.若θ确定,则|a|唯一确定B.若θ确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则θ唯一确定D.若|b|确定,则θ唯一确定参考答案与解析知识梳理1.同向反向a⊥b2.|a||b|cosθ|a||b|cosθ4.(1)|a|cosθ(2)a·b=0(3)-|a||b|(4)6.(1)x1x2+y1y2基础自测1.C2.D3.A4.-35.①②③考点透析所以cosθ≠-1,k=1.(2)因为·=·(-)=·-=1,变式训练经典考题真题体验
