第2课时平面向量的数量积及应用举例考纲索引1
两个向量夹角的表示
两个向量的数量积的定义
向量数量积的几何意义
理解平面向量数量积的含义及物理意义;2
了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3
掌握数量积的坐标关系式,会进行平面向量数量积的运算;4
能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
两个向量的夹角2
两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0
向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积
向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角
则(1)e·a=a·e=;(2)a⊥b⇔;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=,特别的,a·a=|a|2或者|a|=;(4)cosθ=;(5)|a·b|≤|a||b|
向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c
平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则基础自测指点迷津◆三个因素a·b是一个确定的实数,与|a||b|,cos有关
◆五个区别(1)若a,b为实数,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0
(2)若a,b,c∈R则a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0,却不能推出b=c
(3)若a,b,c∈R则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的
