3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义自我小测1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．812．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值是()A．－1B．1C．－2D．23．若lim＝1，则f′(x0)等于()A.B.C．－D．－4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)5．曲线y＝x3＋2在点处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°6．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则lim＝__________.7．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则lim＝__________.8．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用＞连接)9．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，求x0的值．10．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝2232(3)293(3)(03)tttt＋，①＋－＜，②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．参考答案1.解析：Δs＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，＝18＋3Δt，当Δt→0时，→18.答案：B2.解析：k＝y′|x＝2＝lim＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，所以过点(2,8)的切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，所以a＝1.答案：B3.解析：lim＝lim＝－lim＝－f′(x0)＝1.1所以f′(x0)＝－.答案：D4.解析：根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.答案：C5.解析：Δy＝(1＋Δx)3－×13＝Δx＋(Δx)2＋(Δx)3，＝1＋Δx＋(Δx)2，lim＝lim＝1，所以曲线y＝x3＋2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.答案：B6.解析：lim＝2lim＝2f′(x0)＝8.答案：87.答案：－28.解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，由图象易知k1＞k3＞k2.答案：k1＞k3＞k29.解：对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，y′|x＝x0＝lim＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，y′|x＝x0＝lim＝lim＝lim[－320x－3x0·Δx－(Δx)2]＝－320x.又曲线y＝1－x3与曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线互相平行，所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－.10.解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.2
