课时素养评价七全称量词命题与存在量词命题的否定(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1.命题“∃x∈R，x2=x”的否定是()A.∃x∈R，x2≠xB.∀x∈R，x2=xC.∃x∉R，x2≠xD.∀x∈R，x2≠x【解析】选D.该命题的否定：∀x∈R，x2≠x.2.已知命题p：∃x，y∈Z，x2+y2=2015，则p为()A.∀x，y∈Z，x2+y2≠2015B.∃x，y∈Z，x2+y2≠2015C.∀x，y∈Z，x2+y2=2015D.不存在x，y∈Z，x2+y2=2015【解析】选A.含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为全称量词，再将结论否定即可.所以p为∀x，y∈Z，x2+y2≠2015.3.设命题p：∀x∈Q，x2∈Q，则()A.p为真命题B.p：∀x∈Q，x2∉QC.p：∃x∉Q，x2∈QD.p：∃x∈Q，x2∉Q【解析】选D.因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，p：∃x∈Q，x2∉Q.4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是()A.p：所有四边形的内角和都是360°B.q：∃x∈R，x2+2x+2≤0C.r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D.s：对所有实数a，都有|a|>0【解析】选B、D.A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题.B.q：∀x∈R，x2+2x+2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.C.r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题.D.s：存在实数a，使|a|≤0，真命题.二、填空题(每小题4分，共8分)5.命题“∃x>-1，x2+x-2019>0”的否定是________.【解析】已知命题是存在量词命题，其否定为“∀x>-1，x2+x-2019≤0”.答案：∀x>-1，x2+x-2019≤0【加练·固】若命题p：∀x∈R，<0，则p：________.【解析】p：∃x∈R，使>0或x-2=0.答案：∃x∈R，使>0或x-2=06.命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为________，此命题的否定是______________，是________命题(填“真”或“假”).【解析】此命题用符号表示为∃x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题.答案：∃x，y∈R，x+y>1∀x，y∈R，x+y≤1假三、解答题7.(16分)写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)任何有理数都是实数.(2)存在一个实数a，能使a2+1=0成立.【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题，所以其否定是假命题.(2)该命题的否定：任意一个实数a，不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题.【加练·固】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：∀x∈R，x2-x+≥0.(2)p：所有的正方形都是菱形.(3)p：至少有一个实数x，使x3+1=0.【解析】(1)是全称量词命题，p：∃x∈R，x2-x+<0.因为对于任意的x，x2-x+=≥0，所以p为假命题.(2)是全称量词命题，p：存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形，所以p为假命题.(3)是存在量词命题，p：∀x∈R，x3+1≠0.因为x=-1时，x3+1=0，所以p为假命题.(15分钟·30分)1.(4分)∃m，n∈Z，使得m2=n2+1998的否定是()A.∀m，n∈Z，使得m2=n2+1998B.∃m，n∈Z，使得m2≠n2+1998C.∀m，n∈Z，使得m2≠n2+1998D.以上都不对【解析】选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2+1998.2.(4分)已知命题p：∃x∈(1，3)，x-a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞，1)B.(3，+∞)C.(-∞，3]D.[3，+∞)【解析】选D.p是真命题，所以p是假命题，所以∃x∈(1，3)，x-a≥0无解，所以当1
0，x+a-1=0，若p为假命题，则a的取值范围是________.【解析】因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x+a-1≠0是真命题，所以x≠1-a，所以1-a≤0，所以a≥1.答案：[1，+∞)5.(14分)命题p是“对任意实数x，有x-a>0或x-b≤0”，其中a，b是常数.(1)写出命题p的否定.(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？【解析】(1)命题p的否定：存在实数x，有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集.通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b
