第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.B．C.D．解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，所以cosα＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.4.(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若CE＝－7DE，3BF＝FC，则AF·BE＝()A．11B．10C．－10D．－11解析：选D.以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以AF＝(5，1)，BE＝(－3，4)，则AF·BE＝－15＋4＝－11.故选D.5．已知向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，若OA与OB的夹角为60°，且OC⊥AB，则实数的值为()A.B．1C．6D．4解析：选A.因为向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，OA与OB夹角为60°，所以OA·OB＝3×2×cos60°＝3，所以AB·OC＝(OB－OA)·(mOA＋nOB)＝(m－n)OA·OB－m|OA|2＋n|OB|2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A.6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的射影为________．解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6e＝9×1×1×＋6＝－＋6＝，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的射影为＝＝.答案：7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，所以|2a－3b|＝＝.答案：8．(2020·石家庄质量检测(一))已知AB与AC的夹角为90°，|AB|＝2，|AC|＝1，AM＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，且AM·BC＝0，则的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB＝(0，2)，AC＝(1，0)，BC＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM＝(x，y)，所以AM·BC＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM＝λAB＋μAC，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：9．已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α；(2)若|m－n|＝，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝，即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．2解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)法一：由题设知：OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.法二：AB·OC＝tOC2，AB＝(3，5)，t＝＝－.[综合题组练]1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，AB·AC＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且AP＝AB－λAC(λ∈R)，则|AP|的最大值是()A.B．C.D．解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，AB·AC＝2...
