高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标23 解三角形应用举例-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第23讲解三角形应用举例［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(B)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)1A．100mB．400mC．200mD．500m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝(A)A．B．C．D．解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1．4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋15)m解析设建筑物高度为h，则－＝60，即(－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋30)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile，此船的航速是32nmile/h.2解析设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得＝，∴v＝32nmile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为16米.解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16.∴N与D之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝150m.解析在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，＝，解得MA＝100，在△MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150m.三、解答题10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120...