2.4二次函数和幂函数A组基础题组1.函数f(x)=2x2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=()A.10B.14C.19D.20答案C由题意知m4=-1,所以m=-4,所以f(x)=2x2+4x+3,所以f(2)=19.2.(2019绍兴一中月考)命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a<0或a≥3B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3D.0
0恒成立,则a=0或{a>0,Δ=4a2-12a<0,可得0≤a<3,故当命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.3.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为()A.-2B.3C.-3D.2答案A依题意,知-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以{-1+4=-(a+1),-1×4=ab,解得{a=-4,b=1,所以a+2b的值为-2,故选A.4.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()A.[-√2,√2]B.[1,√2]C.[2,3]D.[1,2]答案B对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2转化为f(x)max-f(x)min≤2.由f(x)在(-∞,1)上是减函数,得--2t2≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)≤2,解得-√2≤t≤√2,又t≥1,所以1≤t≤√2.故选B.15.已知函数f(x)=x2+x,x1,x2∈R,则下列不等式中一定成立的不等式的序号为.①f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2;②f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2.答案①解析f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=x12+x1+x22+x22-(x1+x22)2-x1+x22=(x1-x2)24≥0,故填①.6.(2019山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)=.答案-1解析由题意得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,∴m=3或m=-1.当m=3时,f(x)=x-1,其定义域为[-6,6],f(x)在x=0处无意义,故舍去.当m=-1时,f(x)=x3,其定义域为[-2,2],满足题意,∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.7.若f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b=.答案-322解析由题意可知,{|f(-1)|≤12,|f(0)|≤12,|f(1)|≤12,即{|1-a+b|≤12,|b|≤12,|1+a+b|≤12,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|,所以2|1+b|≤1,解得-32≤b≤-12,另一方面|b|≤12等价于-12≤b≤12,所以b=-12,所以{|12-a|≤12,|12+a|≤12,解得a=0.综上得{a=0,b=-12,故4a+3b=-32.8.二次函数y=x2+kx+k,k∈[4,6]的图象截x轴所得线段长度的取值范围是.答案[0,2√3]解析所求线段的长度为√k2-4k=√(k-2)2-4,因为k∈[4,6],所以√(k-2)2-4∈[0,2√3].9.对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数a的取值范围是.答案(-1,3)解析问题等价于方程x2+ax+1=x无解,即x2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a-1)2-4<0⇒-1f(a-1)的实数a的取值范围.解析(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数.3∴函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2) 函数f(x)的图象经过点(2,√2),∴√2=2(m2+m)-1,∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得{2-a≥0,a-1≥0,2-a>a-1.解得1≤a<32.∴实数a的取值范围为[1,32).11.设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),并与直线y=-a有交点.(1)求证:0≤ba<1;(2)若直线y=-a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D四点,且线段AB,BC,CD能构成钝角三角形,求ba的取值范围.解析(1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a,所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13n,m2+m2
