6.2垂直关系的性质A组1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直解析:a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案:C2.已知直线l垂直于△ABC的两边AB,AC,直线m垂直于△ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.不确定解析:由已知得l与m均垂直于平面ABC,它们必平行.答案:B3.导学号62180051设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析:当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l. 平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案:B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析:如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=. 平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案:B5.下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析:若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案:D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析: AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD. DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案:7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析:由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面8.如图所示,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=2,则AD=.解析:如图所示,取BC的中点E,连接ED,AE. AB=AC,∴AE⊥BC. 平面ABC⊥平面BDC,∴AE⊥平面BDC,∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中,AE=ED=BC=,∴在Rt△AED中,AD==2.答案:29.导学号62180052如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊈平面PCD,PD⫋平面PCD,所以EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⫋平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又BF⫋平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.B组1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆但要去掉两个点解析:平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案:D2.导学号62180053在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD解析:因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案:C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小C.不变D.有时变大,有时变小解析: l⊥平面ABC,∴BC⊥l, BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案:C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析:利用面面垂直的判定,可知...
