（浙江专用）新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 2 第2讲 导数在研究函数中的应用 2 第2课时 导数与函数的极值、最值高效演练分层突破-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2课时导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．(2020·宁波质检)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②B．①③C．③④D．②③解析：选D.①中，y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点；②中y′＝2x，当x＞0时函数单调递增，当x＜0时函数单调递减，且y′|x＝0＝0，符合题意；③中结合该函数图象可知当x＞0时函数单调递增，当x＜0时函数单调递减，且y′|x＝0＝0，符合题意；④中，由函数的图象知其在R上递增，无极值点，故选D.2．函数y＝在[0，2]上的最大值是()A.B.C．0D.解析：选A.易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A.3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()解析：选D.因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.4．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.解析：选C.函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.5．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′1(x)，f(x)随x的变化情况如下表x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.6．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)解析：选A.f′(x)＝－k＝(x＞0)．设g(x)＝，则g′(x)＝，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．所以g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，⇒所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.答案：48．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)，则g(x)的最小值为________．解析：对f(x)＝lnx求导，得f′(x)＝，则g(x)＝lnx＋，且x＞0.对g(x)求导，得g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x＝1.当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)＝lnx＋在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)＝lnx＋在(1，＋∞)上单调递增．所以g(x)min＝g(1)＝1.答案：19．(2020·台州市高三期末考试)已知函数f(x)＝x2－3x＋lnx，则f(x)在区间[，2]上的最小值为________；当f(x)取到最小值时，x＝________．解析：f′(x)＝2x－3＋＝(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，当x∈[，1]时，f′(x)＜0，x∈[1，2]时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间[，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)在区间[，2]上的最小值为f(1)＝－2.答案：－2110．(2020·义乌模拟)已知函数f(x)＝lnx－nx(n>0)的最大值为g(n)，则使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范围为________．解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝－n(x>0，n>0)，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)＝f＝－lnn－1.设2h(n)＝g(n)－n＋2＝－lnn－n＋1.因为h′(n)＝－－1<0，所以h(n)在(0，＋∞)上单调递减．又h(1)＝0，所以当0