4.1.2圆的一般方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的一般方程1、2、3、8、12轨迹问题4、5、7、10圆的一般方程的应用6、9、11、13基础巩固1.(2015江淮名校联考)已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,那么下列直线中经过圆心的直线方程为(C)(A)2x-y+1=0(B)2x-y-1=0(C)2x+y+1=0(D)2x+y-1=0解析:圆x2+y2-2x+6y+8=0的圆心为(1,-3),逐个检验可知C正确.2.(2015濮阳综合高中月考)圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(C)(A)8π(B)4π(C)2π(D)π解析:由题意,得r==.所以S=πr2=2π.3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(A)(A)(-∞,)(B)(-∞,0)(C)(,+∞)(D)(-∞,]解析:由x2+y2-x+y+m=0,得+=-m.因为该方程表示圆,所以-m>0,即m<,故选A.4.(2015蚌埠一中月考)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(A)(A)x2+y2=4(x≠±2)(B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2)(D)x2+y2=2解析:由题可知,点P的轨迹是以MN为直径的圆(除去M、N两点),所以点P的轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2),故选A.5.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是(B)(A)x2+y2=32(B)x2+y2=16(C)(x-1)2+y2=16(D)x2+(y-1)2=16解析:设M(x,y),则M满足=2,整理得x2+y2=16,故选B.6.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是P,则点P到直线x-y-1=0的距离是.解析:易知圆的圆心P坐标为(2,0),所以P到直线x-y-1=0的距离为d==.答案:7.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是.解析:将x2+y2-4x+2y-11=0配方得(x-2)2+(y+1)2=16,则圆心A(2,-1),设PA的中点M(x,y),则P(2x-2,2y+1),代入方程x2+y2-4x+2y-11=0化简得x2+y2-4x+2y+1=0.答案:x2+y2-4x+2y+1=08.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.解:设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由题意,得解得即△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.能力提升9.设A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是(B)(A)4x-3y-2=0(B)4x-3y-6=0(C)3x+4y+6=0(D)3x+4y+8=0解析:将x2+y2+4y=0化为x2+(y+2)2=4.可知圆心的坐标为(0,-2).又由题意知,所求直线与已知直线AB垂直,故其斜率k=,从而所求直线方程为y+2=x,即4x-3y-6=0,故选B.10.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是(B)(A)(x-1)2+y2=4(B)(x-1)2+y2=2(C)y2=2x(D)y2=-2x解析:由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故选B.11.若圆x2+y2-4x+2y+m=0与y轴交于A、B两点,且∠ACB=90°(其中C为已知圆的圆心),则实数m等于.解析:设A(0,y1),B(0,y2),在圆方程中令x=0得y2+2y+m=0,y1,y2即为该方程的两根,由根与系数的关系及判别式得又由∠ACB=90°,C(2,-1),知kAC·kBC=-1,即·=-1,即y1y2+(y1+y2)+1=-4,代入上面的结果得m-2+1=-4,所以m=-3,符合m<1的条件.答案:-312.求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.③设x1、x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6有D2-4F=36.④由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.探究创新13.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心与半径;(2)求证:不论m为何实数,它们都表示圆心在同一条直线上的等圆.(1)解:x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0可化为[x+(m-1)]2+(y-2m)2=9,所以圆心为(1-m,2m),半径r=3.(2)证明:由(1)知,圆的半径为定值3,且圆心(a,b)满足方程组即2a+b=2.所以不论m为何实数,方程表示的圆的圆心都在直线2x+y-2=0上,且为等圆.
