高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§6.3等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a.(√)(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝.(×)1．(2013·江西改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项为．答案－24解析由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝.答案－7解析方法一由题意得∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二由，解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.3．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是．答案4解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.4．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝；前n项和Sn＝.答案22n＋1－2解析设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝＝2n＋1－2.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝.(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝.答案(1)(2)4或－4解析(1)显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.所以或故a3＝4或a3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为．(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．答案(1)31(2)－解析(1)设{an}的公比为q，q>0.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝＝＝31.(2)因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝.答案(1)(2)－解析(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，得a＋a＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×5＝51.又an>0，所以a4＋a8＝.(2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，则可得＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.思维升华(1)...