高中数学 考点18 解三角形应用举例（含高考试题）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点18解三角形应用举例一、填空题1.(2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=,AD=3,则BD的长为.【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理.【解析】sin∠BAC===cos∠BAD,在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2××3×=3,所以BD=.【答案】二、解答题2.（2013·重庆高考理科·Ｔ20）在△中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，，求的值．【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通过化简可求出的值.【解析】（Ⅰ）因为由余弦定理有故.（Ⅱ）由题意得因此①因为,所以因为即解得由①得,解得或.3.（2013·重庆高考文科·Ｔ18）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此时的值.【解析】（Ⅰ）由余弦定理得又因为,所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得又有正弦定理及得因此,所以,当,即时,取最大值4.（2013·山东高考理科·Ｔ17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.（1）求a，c的值；（2）求sin（A-B）的值.【解题指南】（1）先由余弦定理可得到ac的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a，c的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，进而求得cosA，从而本题得解.【解析】（1）由与余弦定理得，得又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3.（2）在△ABC中，,由正弦定理得.因为a=c，所以A为锐角.所以.因此.5.（2013·福建高考文科·Ｔ21）如图,在等腰直角中,,,点在线段上.（I）若,求的长;（II）若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.【解题指南】由等腰知，此时，可解；第(II)问,按“求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计算公式求解。【解析】（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理得，，得，解得或．（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即时，的面积的最小值为．6.(2013·江苏高考数学科·T18)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,，.(1)求索道AB的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【解题指南】(1)利用正弦定理确定出AB的长.(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟”建立不等式求解.【解析】(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，由正弦定理=,得AB=×sinC==1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=×sinA==500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤≤3,解得所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在[，](单位:m/min)范围内.