第二节直接证明与间接证明A级·基础过关|固根基|1.(2019届淮南二中模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，下列假设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设“三个内角中至少有两个钝角”．故选B．2．欲证－<－，只需证()A．(＋)2<(＋)2B．(－)2<(－)2C．(－)2<(－)2D．(－－)2<(－)2解析：选A欲证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，故选A．3．(2019届玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：选B由数学归纳法的证明步骤可知，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立．故选B．4．若用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n3＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．k3＋1B．(k＋1)3C．D．(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3解析：选D∵当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k3，∴当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，增加了(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3.故选D．5．(2019届阜新调研)设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：选C假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，∴假设a，b，c都小于2错误．1∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C．6．设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c>0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加得，＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．7．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.8．若实数x，y，m满足|x－m|>|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.解：(1)由题意知，|x2－1|>1，即x2－1>1或x2－1<－1，解得x>或x<－，所以x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)证明：对任意两个不相等的正数a，b，有a3＋b3>2ab·，a2b＋ab2>2ab.因为|a3＋b3－2ab|－|a2b＋ab2－2ab|＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a3＋b3－2ab|>|a2b＋ab2－2ab|，即a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.B级·素养提升|练能力|9.已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.10．设实数c>0，整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立，则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．11．已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：对任意n∈N*，an>2恒成立；(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由．2解：(1)证明：①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立．(2){an}是单调递减的数列．理由：因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，所以a－a<0，所以an＋1
