课时提升作业(十六)向量加法运算及其几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2015·诸暨高一检测)边长为1的正方形ABCD中，|+|=()A.2B.C.1D.2【解析】选B.|+|=||==.2.若在△ABC中，=a，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是()A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.因为|a|2+|b|2=|a+b|2，且|a|=|b|=1，所以△ABC是等腰直角三角形.【补偿训练】在四边形ABCD中，+=，则此四边形肯定为()A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选A.由向量加法的平行四边形法则，不能得出对角线相等或邻边相等，所以一定为平行四边形.3.P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P为()A.四边形ABCD对角线交点B.AC中点C.BD中点D.CD边上一点【解析】选B.利用向量的三角形法则可得：=+，=+.由于+++=+可得+=+，即+=0.二、填空题(每小题4分，共8分)4.化简：+++=________.【解析】因为+++=(+)+(+).=+=答案：【补偿训练】化简++等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为++=(+)+=+=.5.(2015·衡阳高一检测)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s，现在有风，风使雨滴以m/s的速度水平向西移动，则雨滴着地时的速度为________.【解析】如图所示，设风速为，无风时雨滴下落的速度是，雨滴着地的速度为，因为+=，在Rt△ABC中，===(m/s).答案：m/s【补偿训练】(2014·台州高一检测)在某地区地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.【解析】如图所示，设，分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即=+，在Rt△ABD中，||=20km，||=20km，所以||==40(km)，∠CAD=60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40km处.三、解答题6.(10分)如图，已知向量a，b，c，d，(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2，e为单位向量，求|a+e|的最大值.【解析】(1)在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.【延伸探究】本题中，条件不变，求|a+e|的最小值.【解析】由图示可知当点B在点B2时，O，A，B2三点共线，||即|a+e|最小，最小值是1.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·济宁高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量AC1共线的有()①(+)+；②(+)+；③(+)+；④(+)+；A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由向量的运算可得：①(+)+=+=，与向量共线；②(+)+=+=，与向量共线；③(+)+=+=，与向量共线；④(+)+=+=，与向量共线.2.向量(+)+(+)+化简后等于()A.B.C.D.【解析】选C.(+)+(+)+=++++=+++=++=+=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，O(0，0)，A(-2，-1)，B(0，1)，则|+|=________.【解析】取点C的坐标为(-2，0)，则四边形OACB为平行四边形，所以|+|=||=2.答案：24.已知a=3，b=5，则a+b模长的最大值是________.【解析】当a，b同向时，向量a+b模长取最大值，所以|a+b|=3+5=8.答案：8三、解答题5.(10分)O为△ABC内任意一点，如图所示，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点.求证：++=++.【解析】由题意知，=+，=+，=+，所以++=+++++.因为D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，所以++=(++)=0，所以++=++.【一题多解】本题还可以按如下方法解决：因为D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，所以+=2；+=2；+=2；以上三式相加得：2(++)=2(++).所以++=++.【拓展延伸】用向量的加法证明几何问题的一般步骤(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.充分利用平行四边形，三角形的性质，如平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，三角形三边满足的性质等.(3)还原成几何问题进行求解.【补偿训练】如图所示：P，Q是三角形ABC上两点，且BP=QC，求证：+=+.【解题指南】结合图形，以三角形法则为工具，以与的关系为纽带来解题.【证明】=+，=+，所以+=+++，又因为与大小相等，方向相反，所以+=0，故+=++0=+.
