第十节变化率与导数、导数的计算[考纲传真]1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．有关导数的基本概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)3.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()1(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．()(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.B．C．D．D[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.]4．(2016·豫北名校期末联考)曲线f(x)＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【导学号：66482098】5x＋y＋2＝0[ f′(x)＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝f′(0)＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.1[ f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝.[解](1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.(2) y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3) y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.(4)y′＝′＝＝－.2[规律方法]1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练1](1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0等于()【导学号：66482099】A．e2B．1C．ln2D．e(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．(1)B(2)3[(1)f′(x)＝2017＋lnx＋x×＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]导数的几何意义☞角度1求切线方程已知曲线f(x)＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[解](1)根据已知得点P(2,4)是切点且f′(x)＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为f′(2)＝4，3分∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.5分(2)设曲线f(x)＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为f′(x0)＝x，∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.7分 点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，9分∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分☞角度2求切点坐标...
