大题规范满分练(三)数列综合问题1.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式.(2)求Sn,并求Sn的最小值.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.2.已知在正项等比数列{an}中,a1与a3分别是方程x2-5x+4=0的两根.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}是递增数列,其前n项和为Sn,且bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意得或若因为an>0,则q=2,所以an=1×2n-1=2n-1.若,因为an>0,则q=,所以an=4×n-1=23-n.(2)因为数列{bn}是递增数列,bn=log2an+1,所以由(1)知an=2n-1,bn=log2an+1=n-1+1=n,所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn==.所以==2-,所以Tn=2-+-+…+-=21-=.3.已知正项等比数列{an}中,a1=,且a2,a3,a4-1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2+4,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a2,a3,a4-1成等差数列,所以2a3=a2+a4-1,得2a1q2=a1q+a1q3-1,又a1=,则2×q2=q+q3-1,即q2=q+q3-1,所以2q2=q+q3-2,所以2q2+2=q+q3,所以2(q2+1)=q(q2+1),所以(q2+1)(2-q)=0显然q2+1≠0,所以2-q=0,解得q=2故数列{an}的通项公式an=a1qn-1=·2n-1=2n-2.(2)由(1)知,bn=log2+4=log2(2n-2)2+4=2log22n-2+4=2(n-2)+4=2n,所以==,则Tn=b1+b2+…+bn=,==.4.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式.(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.【解析】(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
