第六章不等式、推理与证明6.4基本不等式练习理[A组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“a>b>0”是“ab<”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a>b>0⇒a2＋b2>2ab充分性成立，ab<⇒a≠b，a，b∈R，故不必要，故选A.2．[2016·广州综合测试一]已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为()A．－1B．0C．1D．2答案C解析由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号，故选C.3．[2015·黄浦二模]已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D．a2＋b2>2ab答案C解析当a，b都为负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立；当a＝b时，D不成立，因此只有C正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16答案B解析解法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.(当且仅当a＝，b＝4时取“＝”)解法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)·－10＝＋＋1＋9－10≥2＝6(当且仅当a＝，b＝4时取“＝”)．解法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6(当且仅当b＝4时取“＝”)．5．若x>4，则函数y＝x＋()A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值2D．没有最小值答案B解析 x>4，∴y＝x＋＝(x－4)＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当x－4＝，此时x＝5，故选B.6．若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.B.C．5D．6答案C解析由x＋3y＝5xy，得＋＝5(x>0，y>0)，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝(13＋12)＝5.当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，此时由解得故选C.7．[2016·洛阳月考]设正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值为________．答案11解析依题意得＋＝＋＝＋＋≥＋2＝1，当且仅当即a＝2b＝时取等号，因此＋的最小值是1.8．[2015·南昌模拟]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．答案6解析9＝x＋3y＋xy＝x＋3y＋·(x·3y)≤x＋3y＋·2，所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.所以x＋3y≥6或x＋3y≤－18(舍去)．当且仅当x＝3y＝3时取“＝”．9．已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，ab的最大值为________．答案解析圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心为(2，－1)，因为直线过圆心，所以2a＋2b＝2，即a＋b＝1.所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab的最大值为.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案58解析每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[B组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(ex)*的最小值为()A．2B．3C．6D．8答案B解析依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，选B.2．[2015·唐山二模]若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为()A．9B．2C．3D．2答案D解析(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc. a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，∴a＋b＋c≤2.3．已知a>b>0，ab＝1，则的最小值为________．答案2解析 a>b>0，∴a－b>0，∴＝＝a－b＋≥2＝2.当且仅当a－b＝，即a＝b＋时等号成立．24．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．答案解析对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N*，g(x)在(0,2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且g(2)＝6，g(3)＝. g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤...
