2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是(A)A．f(x)＝x|x|B．f(x)＝lgxC．f(x)＝2x＋2－xD．f(x)＝x3－1解析：选项B，f(x)＝lgx的定义域是x>0，所以不是奇函数，所以B错；选项C，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)是偶函数，所以C错；选项D，f(x)＝x3－1不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数，所以D错．只有A，满足定义域关于原点对称，并且f(－x)＝－f(x)，是奇函数．2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(A)A．B．－1C．1D．7解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又因为f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，所以a＋b＝，故选A．3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2015)＝(A)A．－2B．2C．－98D．98解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2015)＝－2.4．(2016·重庆模拟)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx，则f＝(D)A．B．－C．lg2D．－lg2解析：因为当x>0时，f(x)＝lgx，所以f＝lg＝－2，则f＝f(－2)，因为函数y＝f(x)是奇函数，所以f＝－f(2)＝－lg2.5．(2016·河北石家庄调研)已知偶函数y＝f(x)满足f(x＋5)＝f(x－5)，且0≤x≤5时，f(x)＝x2－4x，则f(2016)＝(B)A．－1B．0C．1D．12解析： f(x＋5)＝f(x－5)，∴f(x＋10)＝f(x)，∴f(x)为周期函数，且周期为10，∴f(2016)＝f(201×10＋6)＝f(6)＝f(－4)＝f(4)＝42－4×4＝0，故选B．6．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则实数a的取值范围是(D)A．[－2,1]B．[－5,0]C．[－5,1]D．[－2,0]1解析：因为f(x)是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则ax＋1≤|x－2|，即x－2≤ax＋1≤2－x.由ax＋1≤2－x，得ax≤1－x，a≤－1，而－1在x＝1时取得最小值0，故a≤0.同理，x－2≤ax＋1时，a≥－2，所以a的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0.解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，所以|－x＋a|＝|x＋a|，所以a＝0.8．(2016·湖南长沙模拟)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1
