高考数学二轮总复习 课时跟踪检测（二十二）圆锥曲线中的证明、存在性问题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测(二十二)圆锥曲线中的证明、存在性问题A卷1．(2019·河南洛阳统考)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心M在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，圆M过原点O且与C的准线相切．(1)求抛物线C的方程；(2)点Q(0，－1)，点P(与Q不重合)在直线l：y＝－1上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AQO＝∠BQO.解：(1)因为圆心M在抛物线C上，且圆M与抛物线C的准线相切，所以b＝3－，易知圆M过点，又圆M过原点，所以b＝，所以3－＝，解得p＝4，所以抛物线C的方程为x2＝8y.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，－1)，因为C的方程为y＝x2，所以y′＝x，所以抛物线C在点A处的切线斜率为k＝x1，切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y－＝(x－x1)，化简得y＝－x＋x1x.又切线PA过点P(m，－1)，故可得－1＝－x＋x1m，即x－2x1m－8＝0.同理可得x－2x2m－8＝0，则x1，x2为x2－2mx－8＝0的两根，所以x1＋x2＝2m，x1x2＝－8，所以kAQ＋kBQ＝＋＝＋＝＋＝＝0，故∠AQO＝∠BQO.2．(2019·湖北宜昌葛洲坝中学高三月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A，C的四个顶点构成的四边形面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)E，F为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线AE，AF，使其满足：①直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；②线段EF的中点在直线x＝上？若存在，求出直线AE和AF的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知，直线AE的斜率存在且不为0，设直线AE的方程为y－＝k(x－1)，代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4k2－12k－3＝0.(*)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，且x＝1是方程(*)的根，∴x1＝，用－k代替上式中的k，可得x2＝，故EF中点的横坐标为＝＝，解得k＝±，∴直线AE，AF的方程分别为y＝x，y＝－x＋3或y＝－x＋3，y＝x.B卷1．(2019·河北邯郸联考)如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点，直线y＝6x与椭圆C的交点到y轴的距离为，过点B作x轴的垂线l，D为l上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与C的另一个交点为P，证明：直线PF与圆E相切．解：(1)由题可知＝，∴a＝2c，b2＝3c2.设椭圆C的方程为＋＝1，由得|x|＝＝，∴c＝1，a＝2，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)可得F(1,0)，B(2,0)设圆E的圆心为(2，t)(t≠0)，则D(2,2t)，圆E的半径为R＝|t|，∴直线AD的方程为y＝(x＋2)．设过F与圆E相切的直线方程为x＝ky＋1，则＝|t|，整理得k＝，由得又∵＋＝1，∴直线PF与圆E相切．2．(2019·重庆一中高三月考)如图，直线m：tx－y－t2＝0(t>0)与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，与y轴交于G点，C为弦AB的中点，直线l：x＝2t分别与直线OC和直线m交于D，E两点．(1)求直线OC的斜率和直线OE的斜率之积；(2)分别记△ODE和△OCG的面积为S1，S2，是否存在正数t，使得S1＝6S2？若存在，求出t的取值；若不存在，说明理由．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由点差法可得：＋y－y＝0⇒＋(y1＋y2)·＝0⇒＋2y3·t＝0⇒kOC＝＝－.再联立可求出E(2t，t2)⇒kOE＝.所以kOC·kOE＝－.(2)假设这样的t存在，联立⇒yD＝－，在(1)问中已解得yE＝t2，所以S△ODE＝S1＝·2t·＝，在直线m：y＝tx－t2中令x＝0得yG＝－t2.再联立⇒x3＝，y3＝，所以S△OCVG＝S2＝·t2·＝.由S1＝6S2⇒t2＝⇒t＝.当t＝时，点C的坐标为，经检验C在椭圆内，即直线l与椭圆相交，所以存在t＝满足题意．