考点13解三角形热门题型题型1正弦定理的应用题型2余弦定理的应用题型3解三角形的实际应用题型4解三角形与三角函数的综合应用题型5解三角形中的最值、范围问题题型1正弦定理的应用例1（2016全国甲理13）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则．解析：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.【解题技巧】掌握正弦定理以及相关变形．变式1.（2015广东）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则．解法二：因为且，所以或．又，所以，．又，由正弦定理得．故应填1.题型2余弦定理的应用例2.（2016全国丙理8）在中，，边上的高等于，则（）.A.B.C.D.解析如图所示.依题意，，，在中，由余弦定理得故选C.【解题技巧】．变式1.（2016天津理3）在中，若，，，则（）A.1B.2C.3D.4解析由余弦定理得，解得.故选A.变式2.（2015安徽）在中，,点在边上，，求的长．解法二：如图所示，设．由余弦定理得，所以．在中，设，则，故，即①，即②由式①，式②得，即．题型3解三角形的实际应用例3.（2017全国1理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求的值；（2）若，，求的周长.解析：（1）因为的面积且，所以，即.由正弦定理得，由，得.变式1.（2017全国2理17）的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，的面积为2，求解析：（1）依题得．因为，所以，所以，得（舍去）或.（2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．变式2.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.解析在中，，，所以，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，，所以，所以.题型4解三角形与三角函数的综合应用例4.（2016江苏15）在中，，，．（1）求的长；（2）求的值．解析：（1）因为，而，所以.由正弦定理，故．（2）因为，所以.又，所以，故．题型5解三角形中的最值、范围问题例5.（2016北京理15）在中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.解析（1）由题设可得.由余弦定理，可得.又，所以.变式1.（2015全国1）在平面四边形中，，，则的取值范围是.解析解法一：如图所示，，延长，交于点，则可知，且在中，，，．在中，由正弦定理可得，所以由题意可得．在中，由正弦定理可得，所以．又因为，所以的取值范围是．C'A'EABCD（解法一图）（解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造，使得，则，取边上一点，边上一点，使得．若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得；若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得．又因为是平面四边形，所以点应在点与点之间，且不与点与点重合，所以的取值范围是．【高考真题链接】1.（2017山东理9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）.A.B.C.D.解析因为，所以，又，得，即.故选A.2.（2015福建）若锐角的面积为，且，则．3.（2016上海理9）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．解析不妨设，，，则，故，因此．4.(2017浙江理14)已知，，.点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.解析如图所示，取的中点为，在等腰中，，所以，，所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得．5.（2015重庆）在中，，，的角平分线，则_______.解析如图所示，由正弦定理易得,即，故,即，在，知，即．由于是的角平分线，故．在中，，易得．在中，由正弦定理得，即，所以．6.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（1）求和的值；（2）求的值.解析（1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（Ⅰ）及，得，所以，，故.7.（2015江苏）在中，已知，，．（1）求的长；（2）求的值．解析（1）由余弦定理，解得．（2）.因为，故，故．8.（2015陕西）的内角所对的边分别为，，．向量与平行．（1）求；（2）若，，求的面积．9.（2015全国2）在中，是上的点，平分，是面积的2倍．(1)求；(2)若，求和的长.解析(1)根据题意可得右图，由正弦定...
