第6课时直线与平面、平面与平面垂直的判定基础达标(水平一)1.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().A.B.C.D.【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;当a和α斜交时,θ的取值范围是.综上,θ的取值范围是.【答案】D2.下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是().A.①③B.②④C.③④D.①②【解析】由二面角的定义知,①错误;a,b分别垂直于两个平面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误;由定义知④正确.故选B.【答案】B3.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是().A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,故选C.【答案】C4.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列结论不成立的是().A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】如图,∵DF∥BC,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故选项A成立.∵AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,∴DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故选项B成立.又DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,故选项D成立.若平面PDF⊥平面ABC,而由DF⊥AE,则AE⊥平面PDF,∴AE⊥PF,又PF⊥AC,∴PF⊥平面ABC;同理,PD⊥平面ABC.这样过平面外一点就有两条直线垂直于同一个平面,这是不可能的,∴选项C不成立.【答案】C5.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.【解析】(1)∵PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.(2)∵∠BCA=90°,∴BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AP.【答案】(1)AB,AC,BC(2)BC6.在一个倾斜角为60°的斜坡上,沿着与坡脚面的水平线成30°角的道路上坡,行走100m,实际升高了m.【解析】如图,构造二面角α-AB-β,在直道CD上取一点E,过点E作EG⊥平面β于点G,过点G作GF⊥AB于点F,连接EF,则EF⊥AB.∴∠EFG为二面角α-AB-β的平面角,即∠EFG=60°.∴EG=EF·sin60°=CE·sin30°·sin60°=100××=25m.【答案】257.如图,在矩形ABCD中,AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A'BE的位置,使A'C=A'D.求证:平面A'BE⊥平面BCDE.【解析】如图,取CD的中点M,BE的中点N,连接A'M,A'N,MN,则MN∥BC.∵AB=AD,E是AD的中点,∴AB=AE,即A'B=A'E.∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D,∴A'M⊥CD.在四边形BCDE中,CD⊥MN.又MN∩A'M=M,∴CD⊥平面A'MN,∴CD⊥A'N.∵DE∥BC,且DE=BC,∴BE与CD必相交.∴A'N⊥平面BCDE.又A'N⊂平面A'BE,∴平面A'BE⊥平面BCDE.拓展提升(水平二)8.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论错误的是().A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD1【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1,因此BD∥平面CB1D1,选项A正确;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1,因此BD⊥AC1,选项B正确;由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C,因此AC1⊥平面CB1D1,选项C正确;因为四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正确.故选D.【答案】D9.如图所示,在三棱锥A-SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,则直线AS与平面SBC所成的角为().A.120°B.60°C.45°D.30°【解析】因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB与△SAC都是等边三角形.所以AB=AC.如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC.设SA=a,则在Rt△SBC中,BC=a,CD=SD=a.在Rt△ADC中,AD==a.则AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD.又BC∩SD=D,所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角.在Rt△ASD中,SD=AD=a,所以∠ASD=45°,即直线AS与平面SBC所成的角为45°.【答案】C10.正方形ABCD的边长为12cm,PA⊥平面ABCD,且PA=12cm,则点P到BD的距离为.【解析】连接AC,BD交于点O,易得PO⊥BD,则OP为点P到BD的距离.又PA=12cm,AO=AB=6cm,∴PO==6cm.【答案】6cm11.如图,A是平面BCD外的一点,△ABD,△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求证:BD⊥平面ADC.【解析】令AD=BD=CD=a,∴在Rt△ABD中,AB=a,在Rt△ACD中,AC=a.∵在△BAC中,∠BAC=60°,且AB=AC=a,∴BC=a,∴BC2=BD2+CD2,∴∠BDC=90°,∴BD⊥DC.又BD⊥AD,AD∩DC=D,∴BD⊥平面ADC.
